Sobre el problema del milenio de Navier–Stokes

 

Lee el artículoEnlace a la demostración formalizada en Lean

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• El problema
• El resultado
• Cómo encontramos la demostración
• Trabajo simultáneo
• Progreso y responsabilidad

Compartimos una solución al problema de existencia y regularidad de Navier–Stokes, uno de los problemas del milenio. Esta demostración, producida por un sistema interno de OpenAI, muestra que la dinámica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el movimiento de fluidos puede desarrollar una singularidad en un tiempo finito. Compartimos tanto una exposición de la demostración como una formalización en Lean.

Los problemas del milenio⁠(se abre en una nueva ventana) representan algunas de las preguntas más profundas de las matemáticas de vanguardia. La pregunta de si el movimiento tridimensional y regular de un fluido puede dejar de serlo lleva cerca de 90 años sin respuesta.

Uno de los grandes objetivos de nuestro trabajo es ayudar a los científicos a impulsar investigaciones y tecnologías que beneficien a toda la humanidad. Para resolver el problema de Navier–Stokes, usamos un modelo interno mucho más capaz que GPT‑6 Astra. Creemos que es importante informar al mundo sobre el ritmo de avance de la IA y qué esperar de los próximos modelos.

El problema

Las ecuaciones de Navier–Stokes usan la segunda ley del movimiento de Newton ("F=ma") para describir cómo se mueven los fluidos. Es importante señalar que tratan el fluido como un medio continuo, en vez de rastrear moléculas individuales. Estas ecuaciones se usan para diseñar aeronaves, pronosticar el tiempo y estudiar el flujo sanguíneo.

Una pregunta fundamental aún abierta sobre estas ecuaciones dinámicas es si la aproximación continua del fluido puede fallar. En concreto, ¿pueden las ecuaciones de Navier–Stokes para un fluido tridimensional incompresible y de densidad constante desarrollar una "singularidad", aunque el movimiento comience de forma regular? Aquí, una singularidad significa que la dinámica hace que las velocidades del fluido crezcan sin límite en un tiempo finito. La singularidad tendría que desarrollarse pese a la viscosidad, que tiende a suavizar el movimiento. Como un fluido real no puede moverse a velocidad infinita, esto indicaría que las ecuaciones dejan de modelarlo correctamente. Para seguir modelando el sistema, habría que rastrear por separado el comportamiento de cada partícula.

Las ecuaciones se remontan al trabajo decimonónico de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. En 1934, Jean Leray demostró que existen soluciones en un sentido generalizado, pero si siempre conservan su regularidad se convirtió en una pregunta central sin respuesta. En 2000, el Instituto Clay de Matemáticas incluyó el problema de existencia y regularidad de Navier–Stokes entre los siete problemas del milenio.

El resultado

Nuestro sistema produjo una demostración analítica y una formalización en Lean de que un fluido inicialmente regular y en reposo puede desarrollar una singularidad en un tiempo finito. Se aplica una fuerza regular al fluido y su energía permanece finita durante toda la dinámica, desde el reposo hasta la formación de la singularidad. Esto resuelve el problema del milenio de Navier–Stokes al establecer el enunciado "C" (y también el "D") de la formulación oficial del Premio del Milenio⁠(se abre en una nueva ventana).

La solución es un vórtice, un remolino giratorio de fluido, que forma una espiral hacia adentro y se alarga cada vez más, como un espagueti. Esta región central se contrae mientras acelera, de modo que su energía permanece finita, como exigen las leyes de la física. El desafío técnico consiste en que las ecuaciones desarrollen la ruptura mediante el propio movimiento del fluido, en vez de, por ejemplo, introducir manualmente una fuerza infinita. En términos más matemáticos, los términos de las ecuaciones de Navier–Stokes que describen el movimiento, aceleración, gradientes de presión, transferencia de momento y viscosidad, deben volverse grandes y, a la vez, cancelarse de forma precisa. Este equilibrio detallado mantiene regular la fuerza externa aun cuando la velocidad del fluido crece sin límite.

Cómo encontramos la demostración

Desde el 28 de agosto entrenamos un nuevo modelo interno que ha mostrado un rendimiento sin precedentes en nuestras evaluaciones, incluidas las de matemáticas. El entrenamiento de este modelo continúa y su rendimiento sigue mejorando.

Rendimiento de GPT-6 Astra y nuestro modelo interno en un conjunto seleccionado de problemas matemáticos abiertosGPT-6 AstraModelo internoCómputo en inferencia (escalalogarítmica)00.10.20.30.40.5Tasa de aciertosGPT-6 AstraModelo interno

El martes 1 de septiembre escuchamos rumores de que se habían resuelto dos problemas del milenio. Inspirados por esos rumores y por el salto de rendimiento de nuestro modelo interno, iniciamos un esfuerzo para evaluarlo con todos los problemas del milenio aún abiertos y algunos otros de gran impacto.

Usamos un sistema de agentes coordinados impulsados por nuestro modelo interno. Los agentes tenían acceso a herramientas para consultar una versión en caché de internet y ejecutar código. Los agentes se dividieron en grupos cuyos integrantes podían comunicarse entre sí. Los grupos tenían distintos tamaños; el que resolvió Navier–Stokes reunió alrededor de 10 000 agentes simultáneos. En todo momento mantuvimos las mismas salvaguardas estrictas que aplicamos a todas nuestras evaluaciones de modelos de vanguardia, incluido el monitoreo y el aislamiento.

Para cada problema, dimos a distintos grupos de agentes diferentes variantes del enunciado, que abarcaban todas sus versiones. Para Navier–Stokes, asignamos a grupos distintos las versiones "A" y "B", formas específicas que conducirían a una demostración, y las versiones "C" y "D", que conducirían a una refutación.

Además de los problemas del milenio completos, pedimos a nuestro sistema multiagente que intentara resolver varios problemas "más fáciles". Uno de ellos planteaba una pregunta similar sobre explosión para el límite del problema de Navier–Stokes sin el término de viscosidad. Se conoce como el problema de regularidad de las ecuaciones de Euler, y nuestros agentes nos sorprendieron al resolverlo. La variante específica que resolvieron fue la versión no forzada, en la que no se aplica ninguna fuerza externa al fluido. Casi 100 agentes trabajaron juntos durante unas 50 horas para producir nuestra refutación de la regularidad de Euler¹.

Al ver la solución de Euler, pensamos que Navier–Stokes era el problema más prometedor. Por ello, decidimos dedicar nuestros recursos a Navier–Stokes. Para hacerlo, reasignamos agentes de los demás problemas del milenio y les proporcionamos la resolución de Euler. Cuando estuvo disponible una versión más entrenada de nuestro modelo interno, actualizamos los agentes para que la usaran.

Animamos a los distintos grupos de agentes a explorar enfoques diversos. Después, promovimos el intercambio entre grupos usando Codex para consolidar las ideas más útiles de cada uno. Estas instrucciones posteriores aprovecharon los resultados intermedios de los propios agentes. El grupo que encontró la solución de Navier–Stokes recibió orientación de esta manera.

Los agentes llegaron a su resolución el sábado 5 de septiembre, unas 88 horas después de iniciar los primeros agentes. La formalización y verificación en Lean mediante GPT‑6 Astra tomaron otras 17 horas.

En todos los problemas abordados, los agentes enviaron 4,9 millones de mensajes y usaron unos 300 mil millones de tokens de salida. Durante la resolución de Navier–Stokes, los agentes enviaron 2,7 millones de mensajes y usaron unos 130 mil millones de tokens de salida.

Trabajo simultáneo

Nuestro esfuerzo comenzó el 1 de septiembre tras escuchar un rumor que luego supimos que se relacionaba con Levent Alpöge, empleado de Anthropic, y Tristan Buckmaster, profesor de matemáticas de NYU.² Tras completar nuestro proyecto y la verificación en Lean el 6 de septiembre, y creyendo por el rumor que ellos también tenían una solución de Navier–Stokes, los contactamos para proponer una publicación simultánea de nuestro resultado y reconocer su prioridad en un anuncio conjunto. Entonces descubrimos que habían resuelto el problema de Euler forzado con un modelo interno de Anthropic. Durante estas conversaciones, les ofrecimos acceso a todas las instrucciones que usamos y, posteriormente, a la demostración. Reconocemos la prioridad de su trabajo sobre Euler forzado y los felicitamos por su notable logro matemático.

Nosotros, los investigadores y los agentes, no vimos su trabajo por ningún medio hasta que lo publicaron; en particular, no se accedió a datos específicos de usuarios para resolver este problema.

Tras una investigación, confirmamos que las instrucciones de Buckmaster para Codex durante los dos meses previos al anuncio y al artículo del 8 de septiembre de 2026 no pudieron influir de ningún modo en el sistema, ni siquiera mediante el entrenamiento. El modelo interno de OpenAI usado para este resultado se desarrolló mediante aprendizaje por refuerzo a gran escala sobre un modelo preentrenado. Nuestras demostraciones también difieren considerablemente. En el caso de Euler, Alpöge y Buckmaster demostraron un resultado con fuerza externa, mientras que el sistema de OpenAI demostró uno sin fuerza externa.

Progreso y responsabilidad

Al publicar este resultado, buscamos informar sobre el avance sustancial de nuestros modelos de IA. No pretendemos reclamar el Premio del Milenio por este resultado.

Este hito representa un trabajo considerable de matemáticos e investigadores de IA. Sin embargo, no es la culminación, sino una instantánea del progreso actual en el desarrollo de la IA.

Creemos que hemos entrado en la siguiente etapa del progreso de la IA⁠, y los resultados de hoy ofrecen más evidencia de ello. Nos centramos en comprender este modelo y en usar lo aprendido para orientar y regular el ritmo de futuros avances en capacidad. Uno de nuestros objetivos clave⁠ es crear sistemas de IA orientables, sujetos a rendición de cuentas y conectados con las personas. Esto puede exigir decisiones más deliberadas sobre el ritmo del progreso mientras seguimos nuestra misión de garantizar que la IAG beneficie a toda la humanidad.